本文針對某質(zhì)譜計離子源的設(shè)計，建立了離子源靜電場數(shù)學(xué)模型，采用有限差分法對其場域進行離散，半迭代切比雪夫松弛法求解各節(jié)點的電位，拉格朗日插值法計算空間任意點的電位和電場，四階龍格- 庫塔法計算離子運動軌跡。使用Visual C++ 6.0 為平臺編程計算程序，結(jié)合離子源的具體結(jié)構(gòu)求解了離子源靜電透鏡整個場域的電位和電場；繪制了等位線和離子運動軌跡。在此基礎(chǔ)上，討論了各極電壓對離子運動軌跡（即對聚焦性能）的影響。

　　質(zhì)譜計尼爾型離子源^[1]主要由電離室、燈絲和離子靜電透鏡組成。燈絲發(fā)射出的電子在加速電壓和外加磁場的共同作用下，加速后螺旋運動經(jīng)過電離室。在電離室中，運動電子碰撞氣體分子使其電離，電離后的氣體正離子被離子光學(xué)系統(tǒng)引出并聚焦，最后進入質(zhì)譜計分析器中，多次碰撞后的電子被相對電離室電位為正的的收集極所收集。

　　質(zhì)譜計離子源通過靜電透鏡實現(xiàn)離子束的聚焦，在電極幾何結(jié)構(gòu)一定的情況下，不同電極電位下離子透鏡的聚焦性能不一樣。由于電極電位可調(diào)范圍寬，用試驗的方法尋找最佳聚焦電位比較困難，需要對離子源透鏡的靜電場進行模擬計算為試驗調(diào)節(jié)及優(yōu)化幾何尺寸設(shè)計提供指導(dǎo)。然而，考慮到離子源離子透鏡邊界形狀的復(fù)雜性和拉普拉斯方程組的自洽性，很難解析求解拉普拉斯方程組和離子運動方程。因此，需要采用數(shù)值計算方法來計算離子源的電場分布和離子運動軌跡。

1、離子源靜電透鏡靜電場數(shù)學(xué)模型的建立及求解

　　離子源離子靜電透鏡電極呈狹縫膜片狀，具有面對稱特性（屬于柱面透鏡），是帶狀離子束的聚焦系統(tǒng)，相當(dāng)于光線光學(xué)中的柱形透鏡。由于柱形場是橫向單向?qū)ΨQ、橫向單向退化的場，因此具有以下的特點^[2]：

　　（1） 它的場分布和電位（標(biāo)位）分布均與一個橫向坐標(biāo)無關(guān)（例如對稱面為x- y 面），因此等位面是一系列柱面族，沿柱面延伸的方向（即x方向）場強為零。

　　（2）它的電位分布有一個橫向?qū)ΨQ面。因此在這個對稱面中垂直于該面的場強為零，也即等位面與此對稱面正交，并且這個對稱面平行于柱面延伸的方向。

　　質(zhì)譜計離子源內(nèi)離子流強度較弱^[3]，離子束對空間電場的影響較弱可忽略不計，因此質(zhì)譜計離子源離子透鏡電場的計算屬于拉普拉斯方程組求解問題。

　　靜電場的數(shù)值計算方法主要有：有限差分法、有限元法和邊界元法^[4]。其中有限差分法是分析電場問題的一種重要方法。有限差分法的基本思想就是將待求解的場域用網(wǎng)格劃分出來，再把拉普拉斯方程用各網(wǎng)格節(jié)點的電位作為未知數(shù)的差分方程進行代換。有限差分法直觀、理論成熟、精度可選、易于編程、易于并行，所以本文采用有限差分法來求解離子源靜電場。

1.1、空間場域離散和迭代求解

　　離子源靜電場的拉普拉斯方程用（1）式表示：

　　求解方程（1）的方法是將求解的區(qū)域用直線劃分為許多（有限個）正方形或矩形網(wǎng)格；用與這些網(wǎng)格相鄰節(jié)點的差分方程來代替偏微分方程，建立與所有節(jié)點電位對應(yīng)的線性方程組；求解線性方程組，得出該區(qū)域的電位分布。

　　采用將一個網(wǎng)格節(jié)點的電位與其最近鄰的四個網(wǎng)格節(jié)點的電位聯(lián)系起來的五點差分格式建立差分方程，如圖1 所示。

圖1 差分法求解電位示意圖

3、小結(jié)

　　本文對離子源靜電場計算和離子軌跡模擬方法進行了介紹；以Visual C++ 6.0 為平臺，采用有限差分法和半迭代切比雪夫松弛法計算了拉普拉斯方程，得出了靜電場電位分布；用拉格朗日插值法描繪了空間電位及等位線；采用四階龍格- 庫塔法模擬了離子運動軌跡。質(zhì)譜計離子源離子透鏡模擬計算為該結(jié)構(gòu)尺寸的離子源靜電透鏡各電極電壓的選擇提供了有力支持，對提高離子聚焦性能發(fā)揮了重要作用。

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